一种控制舵结构非线性热模态分析方法与流程

1.本发明属于高速飞行器热防护设计技术领域，尤其涉及一种控制舵结构非线性热模态分析方法。


背景技术：

2.控制舵结构是高速飞行器的重要组成部件，其可靠性和结构完整性决定着飞行任务的成败。掌握控制舵结构的固有频率和阻尼比等模态信息对于控制舵结构的动特性设计十分关键。由于控制舵结构尺寸一般较大、蒙皮一般较薄，往往具有明显几何非线性特点。同时，控制舵轴承等部位的游隙也会引入间隙非线性因素。只有将非线性因素考虑在内，才能够较为准确地预测控制舵结构的高温模态特性，为设计提供指导。传统模态分析方法无法开展非线性系统的模态计算，无法考虑非线性因素对控制舵结构模态特性的影响。


技术实现要素：

3.本发明的技术解决问题：克服现有技术的不足，提供一种控制舵结构非线性热模态分析方法，克服了传统模态分析无法考虑结构非线性因素、无法直接求解结构非线性模态信息的问题，在无需花费大量计算成本求解结构非线性响应的情况下获得控制舵结构的模态频率及模态阻尼随模态幅值的变化规律，满足控制舵结构非线性热模态模态分析需求。
4.为了解决上述技术问题，本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，包括：
5.步骤1，基于控制舵结构的有限元分析模型，得到减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵；
6.步骤2，在模态空间中，根据减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵，构建得到控制舵结构减缩后的非线性自由振动微分方程；
7.步骤3，基于自由振动幅值和非线性项的傅里叶级数形式，对非线性自由振动微分方程进行时频转换，得到频域中的非线性特征方程；
8.步骤4，根据给定的非线性振动各自由度间的相位关系，得到非线性特征方程的第一个补充方程；
9.步骤5，对迭代求解的初值进行预测、修正，并将修正方程作为非线性特征方程的第二个补充方程；
10.步骤6，利用非线性自由振动微分方程对应的线性派生方程，在状态空间中求解线性派生方程的复模态信息，得到线性派生方程的任意阶复模态信息；
11.步骤7，根据线性派生方程的任意阶复模态信息，确定用于对非线性特征方程进行求解的初始值；
12.步骤8，根据非线性模态幅值向量、模态频率、模态阻尼比，确定时域中的非线性项的表达式，并对非线性自由振动微分方程进行更新；
13.步骤9，重复步骤3～步骤8，获得控制舵结构不同振动水平下的模态频率、模态阻尼比和模态幅值向量；分别绘制模态频率和模态阻尼比与模态幅值向量归一化基准间的函数关系，获得非线性模态信息随模态幅值的变化规律。
14.在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，基于控制舵结构的有限元分析模型，得到减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵，包括：
15.基于有限元软件，构建得到控制舵结构的有限元分析模型；
16.根据控制舵结构的有限元分析模型，开展控制舵结构力热耦合分析，得到控制舵结构在力、热载荷作用下的应力场；
17.根据控制舵结构在力、热载荷作用下的应力场，开展预应力模态分析，得到控制舵结构考虑预应力影响的总体质量矩阵总体刚度矩阵和模态振型矩阵
18.对模态振型矩阵进行截断，得到截断振型矩阵φ；
19.利用截断振型矩阵φ对总体质量矩阵和总体刚度矩阵进行减缩，得到减缩后的控制舵质量矩阵m和减缩后的控制舵刚度矩阵k：
[0020][0021]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，在模态空间中，根据减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵，构建得到控制舵结构减缩后的非线性自由振动微分方程，包括：
[0022]
在模态空间中，采用三次多项式非线性模型模拟非线性因素对控制舵结构的影响，得到非线性项f(x,t)：
[0023]
根据减缩后的控制舵质量矩阵m、减缩后的控制舵刚度矩阵k和f(x,t)，构建得到如下控制舵结构减缩后的非线性自由振动微分方程：
[0024]
mx(t) cx(t) kx(t) f(x,t)＝0
…
(2)
[0025]
其中，x(t)表示系统自由振动的位移向量，t表示时间，c表示系统的阻尼矩阵。
[0026]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，f(x,t)表示如下：
[0027]
f(x,t)＝kn·
x3(t)
…
(3)
[0028]
其中，kn表示控制舵结构的非线性刚度系数。
[0029]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，基于自由振动幅值和非线性项的傅里叶级数形式，对非线性自由振动微分方程进行时频转换，得到频域中的非线性特征方程，包括：
[0030]
将x(t)展开成傅里叶级数的形式：
[0031][0032]
其中，e-nβt
表示系统的阻尼项，π表示计算过程中保留的谐波阶次，β表示非线性模态阻尼比，ω表示非线性振动模态频率，x
n,s
和x
n,c
分别表示第n阶谐波分量的正弦和余弦傅里叶系数；
[0033]
将x(t)的傅里叶系数写成向量x的形式：
[0034]
x＝[x
1,c
,x
1,s
,x
2,c
,x
2,s
,
…
,x
π,c
,x
π,s
]
…
(5)
[0035]
将式(4)和式(5)代入式(2)，利用谐波平衡的思想，将非线性自由振动微分方程从时域转换到频域中，得到频域中的非线性特征方程：
[0036]
γ(ω,β)x f(x,ω,β)＝0
…
(6)
[0037]
其中，γ(ω,β)表示动刚度矩阵。
[0038]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，
[0039]
动刚度矩阵γ(ω,β)的表达式如下：
[0040][0041]
其中，矩阵子块γn(ω,β)的表达式如下：
[0042][0043]
在获取f(x,t)的幅值时，定义在本周期内的振动幅值不变，将式(4)表示成如下式(9)的形式：
[0044][0045]
根据f(x,t)与x(t)之间的关系，通过傅里叶变换，得到非线性项的傅里叶系数向量：
[0046]
f＝[f
1,c
,f
1,s
,f
2,c
,f
2,s
,
…
,f
π,c
,f
π,s
]
…
(10)。
[0047]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，根据给定的非线性振动各自由度间的相位关系，得到非线性特征方程的第一个补充方程，包括：
[0048]
根据给定的非线性振动各自由度间的相位关系，令非线性特征方程自由度k的第n阶谐波系数的实部和虚部相等，得到第一个补充方程：
[0049]
x
n,c
(k)＝x
n,s
(k)
…
(11)。
[0050]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，对迭代求解的初值进行预测、修正，并将修正方程作为非线性特征方程的第二个补充方程，包括：
[0051]
定义非线性特征方程任意阶模态信息向量为ψ：
[0052]
ψ＝[x
t
,ω,β]
t
…
(12)
[0053]
定义非线性特征方程的初始解为ψ
p
，从初始解出发求解方程下一个解ψj的过程包括两步：第一步是获得预测解，第二步是对预测解进行修正；
[0054]
预测解通过“割线法”实现，表达式如下：
[0055]
[0056]
其中，δ表示模态分析的计算步长；
[0057]
对预测解进行修正，修正方程如下：
[0058]
||ψ
j-ψ
j-1
||2＝||x
j-x
j-1
||2 |β
j-β
j-1
|2 |ω
j-ω
j-1
|2＝|δ|2…
(14)
[0059]
其中，ψ
j-1
和ψ
j-2
表示ψ
p
的两个模态解。
[0060]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，利用非线性自由振动微分方程对应的线性派生方程，在状态空间中求解线性派生方程的复模态信息，得到线性派生方程的任意阶复模态信息，包括：
[0061]
获取非线性自由振动微分方程对应的线性派生方程：
[0062]
mx(t) cx(t) kx(t)＝0
…
(15)
[0063]
将式(15)转化到状态空间中，定义状态向量y(t)为：
[0064][0065]
则，式(15)对应的状态空间方程为：
[0066][0067]
其中，矩阵λ和矩阵θ的表达式分别为：
[0068][0069]
对状态空间中的式(17)进行求解，得到式(15)的任意阶复模态信息：
[0070][0071]
在上述控制舵结构非线性热模态分析方法中，根据线性派生方程的任意阶复模态信息，确定用于对非线性特征方程进行求解的初始值，包括：
[0072]
将式(15)的模态振型向量乘以一个系数ε，得到用于对式(18)的进行求解的初始值：
[0073][0074]
本发明具有以下优点：
[0075]
(1)本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，克服了传统模态分析方法无法考虑控制舵结构非线性影响因素、无法直接求解控制舵结构非线性模态特性的不足，实现控制舵结构非线性热模态的求解。
[0076]
(2)本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，根据非线性系统所对应的线性派生系统的模态阶次来定义非线性系统的模态阶次，解决了非线性系统与其相应线性系统之间模态阶次对应关系的问题。
[0077]
(3)本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，利用非线性系统(方程)自由振动时各自由度之间的相位关系以及预测值修正方程作为特征方程的补充方程，实现模态频率、模态阻尼比、模态幅值向量的同步求解。
[0078]
(4)本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，在无需花费大量计算时间求解振动响应的情况下，即可求解不同激励水平下非线性系统的模态特性信息，大大节省了计算时间。
[0079]
(5)本发明公开了一种控制舵结构非线性热模态分析方法，通过定义非线性模态幅值的概念，可获得控制舵结构模态频率与模态阻尼比随模态幅值的变化规律，进而预测控制舵结构在不同量级振动载荷作用下的共振频率和阻尼水平。
附图说明
[0080]
图1是一种典型控制舵结构的有限元分析模型的示意图；
[0081]
图2是一种典型控制舵结构第1阶热模态振型的示意图；
[0082]
图3是一种典型控制舵结构第2阶热模态振型的示意图；
[0083]
图4是一种典型控制舵结构前2阶非线性模态频率的示意图；
[0084]
图5是一种典型控制舵结构前2阶非线性模态阻尼比的示意图。
具体实施方式
[0085]
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明公开的实施方式作进一步详细描述。
[0086]
本发明的核心思想之一在于：在线性模态概念的基础上，引入非线性模态的概念，将非线性模态定义为非线性保守自治系统所有自由度同时达到位移最大或平衡位置的振动状态。对于一个无阻尼线性系统的模态信息，每一个满足自由振动特征方程的特征向量是一组比例不变的数，且固有频率以及特征向量中各元素之间的比例关系(即模态振型)均与特征向量中元素的大小无关。但是非线性系统的模态信息中，非线性模态向量中各元素之间的比例关系(即非线性系统的模态振型)、固有频率以及模态阻尼比的值都有可能随着特性向量中元素的变化而变化，这是非线性系统与线性系统模态特性的最大区别。本发明克服了传统模态分析方法无法考虑控制舵结构非线性影响因素，无法获得控制舵结构非线性模态特性的不足，在无需花费大量计算时间求解振动响应的情况下，实现控制舵结构非线性热模态的高效求解。
[0087]
在本实施例中，该控制舵结构非线性热模态分析方法，包括：
[0088]
步骤1，基于控制舵结构的有限元分析模型，得到减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵。
[0089]
在本实施例中，可基于有限元软件，构建得到控制舵结构的有限元分析模型；其次，根据控制舵结构的有限元分析模型，开展控制舵结构力热耦合分析(在此过程中考虑了温度的影响，但暂不考核非线性因素)，得到控制舵结构在力、热载荷作用下的应力场；然后，根据控制舵结构在力、热载荷作用下的应力场，开展预应力模态分析，得到控制舵结构考虑预应力影响的总体质量矩阵总体刚度矩阵和模态振型矩阵进一步的，由于设计中只关注控制舵结构的低阶模态特性，因此可对模态振型矩阵进行截断，得到截断振型矩阵φ；最后，利用截断振型矩阵φ对总体质量矩阵和总体刚度矩阵进行减缩，得到减缩后的控制舵质量矩阵m和减缩后的控制舵刚度矩阵k。
[0090]
优选的，减缩后的控制舵质量矩阵m和减缩后的控制舵刚度矩阵k的解算公式如下：
[0091][0092]
优选的，在对模态振型矩阵进行截断时，截取长度可根据控制舵结构待求解模态阶数确定，工程中一般只关注控制舵结构的前2-3阶模态。
[0093]
步骤2，在模态空间中，根据减缩后的控制舵质量矩阵和减缩后的控制舵刚度矩阵，构建得到控制舵结构减缩后的非线性自由振动微分方程。
[0094]
在本实施例中，在模态空间中，根据减缩后的控制舵质量矩阵m、减缩后的控制舵刚度矩阵k，构建得到如下控制舵结构减缩后的非线性自由振动微分方程：
[0095]
mx(t) cx(t) kx(t) f(x,t)＝0
…
(2)
[0096]
其中，x(t)表示系统自由振动的位移向量，t表示时间，c表示系统的阻尼矩阵。
[0097]
优选的，f(x,t)表示非线性项，可采用三次多项式非线性模型模拟非线性因素对控制舵结构的影响，得到非线性项f(x,t)：
[0098]
f(x,t)＝kn·
x3(t)
…
(3)
[0099]
其中，kn表示控制舵结构的非线性刚度系数。实际中可以结合试验结果对kn的大小进行修正。
[0100]
步骤3，基于自由振动幅值和非线性项的傅里叶级数形式，对非线性自由振动微分方程进行时频转换，得到频域中的非线性特征方程。
[0101]
在本实施例中，由于有阻尼系统的自由振动幅值将随着时间发生衰减，因此可将x(t)展开成傅里叶级数的形式：
[0102][0103]
其中，e-nβt
表示系统的阻尼项，π表示计算过程中保留的谐波阶次，β表示非线性模态阻尼比，ω表示非线性振动模态频率，x
n,s
和x
n,c
分别表示第n阶谐波分量的正弦和余弦傅里叶系数。
[0104]
需要强调的是非线性系统的“模态频率”与线性系统的“模态固有频率”具有完全不同的含义：线性系统的模态固有频率是系统自由振动时的特征频率，而非线性系统的模态频率是系统自由振动表达式中谐波展开的基频。将x(t)的傅里叶系数写成向量x的形式：
[0105]
x＝[x
1,c
,x
1,s
,x
2,c
,x
2,s
,
…
,x
π,c
,x
π,s
]
…
(5)
[0106]
进一步的，将式(4)和式(5)代入式(2)，利用谐波平衡的思想，将非线性自由振动微分方程从时域转换到频域中，得到频域中的非线性特征方程：
[0107]
γ(ω,β)x f(x,ω,β)＝0
…
(6)
[0108]
其中，γ(ω,β)表示动刚度矩阵。
[0109]
动刚度矩阵γ(ω,β)的表达式如下：
[0110][0111]
其中，矩阵子块γn(ω,β)的表达式如下：
[0112][0113]
由式(4)可知，由于阻尼项的存在，非线性系统的自由振动幅值会随着时间改变，但是在一个振动周期内，系统振动幅值的衰减量很小，因此在获取f(x,t)的幅值时，定义在本周期内的振动幅值不变，将式(4)表示成如下式(9)的形式：
[0114][0115]
这样，根据f(x,t)与x(t)之间的关系，通过傅里叶变换，得到非线性项的傅里叶系数向量：
[0116]
f＝[f
1,c
,f
1,s
,f
2,c
,f
2,s
,
…
,f
π,c
,f
π,s
]
…
(10)。
[0117]
步骤4，根据给定的非线性振动各自由度间的相位关系，得到非线性特征方程的第一个补充方程。
[0118]
在本实施例中，式(6)中未知数除了傅里叶系数向量x之外，还有γ(ω,β)中的两个待定参数ω和β，这样式(6)中的未知数数量比方程数量多2个。因此要想完成对方程(6)的求解，还需补充两个方程。第一个补充方程通过给定非线性振动的相位来获得。
[0119]
优选的，根据给定的非线性振动各自由度间的相位关系，令非线性特征方程自由度k的第n阶谐波系数的实部和虚部相等，得到第一个补充方程：
[0120]
x
n,c
(k)＝x
n,s
(k)
…
(11)
[0121]
补充式(11)后，还需要再补充一个方程才能完成对式(6)的求解。
[0122]
步骤5，对迭代求解的初值进行预测、修正，并将修正方程作为非线性特征方程的第二个补充方程。
[0123]
在本实施例中，定义非线性特征方程任意阶模态信息向量为ψ：
[0124]
ψ＝[x
t
,ω,β]
t
…
(12)
[0125]
定义非线性特征方程的初始解为ψ
p
，从初始解出发求解方程下一个解ψj的过程包括两步：第一步是获得预测解，第二步是对预测解进行修正。
[0126]
优选的，预测解通过“割线法”实现，表达式如下：
[0127][0128]
其中，δ表示模态分析的计算步长。
[0129]
优选的，对预测解进行修正，修正方程如下：
[0130]
||ψ
j-ψ
j-1
||2＝||x
j-x
j-1
||2 |β
j-β
j-1
|2 |ω
j-ω
j-1
|2＝|δ|2…
(14)
[0131]
其中，ψ
j-1
和ψ
j-2
表示ψ
p
的两个模态解。
[0132]
此处需要说明的是，在式(4)进行求解的时候，可以将如式(14)所示的“修正”方程作为第二个补充方程。这样，联合式(6)、式(11)及式(14)，即可完成对非线性模态信息的求解。
[0133]
步骤6，利用非线性自由振动微分方程对应的线性派生方程，在状态空间中求解线性派生方程的复模态信息，得到线性派生方程的任意阶复模态信息。
[0134]
在本实施例中，对于迭代求解的第一步(即j＝1时)，由于前面没有已知的模态解ψ
j-1
和ψ
j-2
，因此无法获得初始点的ψ
p
，此时可以获取非线性自由振动微分方程对应的线性派生方程：
[0135]
mx(t) cx(t) kx(t)＝0
…
(15)
[0136]
将式(15)转化到状态空间中，定义状态向量y(t)为：
[0137][0138]
则，式(15)对应的状态空间方程为：
[0139][0140]
其中，矩阵λ和矩阵θ的表达式分别为：
[0141][0142]
对状态空间中的式(17)进行求解，得到式(15)的任意阶复模态信息：
[0143][0144]
步骤7，根据线性派生方程的任意阶复模态信息，确定用于对非线性特征方程进行求解的初始值。
[0145]
在本实施例中，将式(15)的模态振型向量乘以一个系数ε，得到用于对式(18)的进行求解的初始值：
[0146][0147]
分析过程中，根据非线性系统所对应的线性派生系统的模态阶次来定义非线性系统的模态阶次，这样便建立了非线性系统与其对应线性派生系统之间的模态阶次的关系。例如，利用线性派生系统的第一阶振动模态作为初始值，获得的非线性系统的模态即为非线性系统的第一阶振动模态。
[0148]
步骤8，根据非线性模态幅值向量、模态频率、模态阻尼比，确定时域中的非线性项的表达式，并对非线性自由振动微分方程进行更新。
[0149]
在本实施例中，假设一个振动周期内振动幅值不变，根据获得的非线性模态幅值向量x、模态频率ω和模态阻尼比β，结合式(4)和式(9)，获得时域中非线性项的表达式，以更新式(2)。
[0150]
步骤9，重复步骤3～步骤8，获得控制舵结构不同振动水平下的模态频率、模态阻
尼比和模态幅值向量；分别绘制模态频率和模态阻尼比与模态幅值向量归一化基准间的函数关系，获得非线性模态信息随模态幅值的变化规律。
[0151]
在本实施例中，通过重复步骤(3)～步骤(9)，可获得控制舵结构不同振动水平下的模态频率、模态阻尼比和模态幅值向量。分别绘制模态频率和模态阻尼比与模态幅值向量归一化基准间的函数关系，获得非线性模态信息(包括模态频率和模态阻尼比)随模态幅值的变化规律。进而，在无需求解结构非线性振动响应的情况下，即可以预测控制舵结构在不同量级振动载荷作用下的共振频率和阻尼水平。
[0152]
在本实施例中，可以对典型控制舵前两阶非线性热模态特性进行分析，以验证本发明所述的控制舵结构非线性热模态分析方法的计算精度，并获得非线性因素对控制舵结构热模态特性的影响规律。
[0153]
典型控制舵结构的有限元分析模型如图1所示，基于商用有限元软件ansys开展控制舵结构线性热模态分析，获得的前两阶热模态振型及对应固有频率如图2和图3所示。在控制舵结构系统中引入“立方”非线性项，其中非线性系数kn＝0.05
·
k。采用本发明所述的控制舵结构非线性热模态分析方法，获得控制舵结构前两阶非线性模态信息，如图4和图5所示。图4中的2条虚线为控制舵结构前两阶模态频率随振动幅值的变化规律，3条实现为控制舵的非线性频响曲线(采用谐波平衡法获得)，对比可以看出采用非线性模态算法预测的控制舵模态频率与非线性响应曲线的峰值频率吻合较好，证明了本方法的计算精度。图5给出了控制舵结构前两阶模态阻尼比随振动幅值的变化规律。从分析结果可以看出：与线性模态分析结果不同，考虑非线性因素后，控制舵结构各阶模态频率及模态阻尼比均不再与振动幅值无关，非线性因素的引入使控制舵结构的固有频率和模态阻尼比的值都随着振动幅值的变化而变化，不同响应水平下控制舵结构的模态频率及模态阻尼比有明显区别。这说明，实际分析过程中非线性因素对控制舵模态特性的影响是不可忽略的。
[0154]
本发明虽然已以较佳实施例公开如上，但其并不是用来限定本发明，任何本领域技术人员在不脱离本发明的精神和范围内，都可以利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出可能的变动和修改，因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化及修饰，均属于本发明技术方案的保护范围。
[0155]
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员的公知技术。