一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法

本发明属于弹性力学领域，具体涉及一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法。

背景技术：

1、在进行弹性力学半无限空间内的平面开孔问题的计算时，通常会用到复变函数的方法以得出平面内的应力及变形的弹性解析解。为了简化计算，通常将物理平面内的半无限空间的开孔平面通过保角映射变换为像平面上的同心圆环形式。

2、对于半无限空间中的非圆形洞室的保角映射方法，已有学者提出了对应的共形映射公式，并在相对简单洞室形状的计算中得到了应用，如椭圆形、矩形，对于复杂形状的洞室，当前采用的求解方法难以达到收敛条件，从而映射函数的精确表达式获取困难。

技术实现思路

1、为了以解决当前的映射函数求解效率低、映射精度难以保证的问题。本发明提供一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法。

2、本发明的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，利用matlab软件编写求解语言，具体包括以下步骤：

3、s1：选取映射函数的基本公式。

4、s2：选取映射中心及映射半径，获取物理平面上半无限空间内孔洞的坐标信息，并得到像平面上对应的坐标。

5、s3：将物理平面和像平面上的点代入映射函数基本公式，构建系数矩阵方程。

6、s4：采用matlab内置的最小二乘法求解矩阵方程，得到第一次迭代求解的系数矩阵结果。

7、s5：进行系数矩阵的修正，重复迭代求解修正步骤，直至满足收敛条件。

8、s6：进一步修正映射半径，直至满足收敛条件。

9、s7：输出最终满足收敛条件的映射半径和映射函数系数。

10、进一步的，映射函数的基本公式为：

11、

12、式中，ζ是像平面上的点，且ζ＝ρeiθ，z是物理平面上的点，且z＝x+iy，a和βk为待定常数项系数，ρ为映射孔洞的半径，ω表示映射函数，i表示虚数单位，k表示累加项数，n表示累加项总数，(x，y)表示物理平面上的坐标。

13、进一步的，映射中心选取为孔洞的形心，映射半径可任意取(0,1)间的值。

14、进一步的，物理平面上的孔洞坐标和对应的像平面坐标获取方法为：将孔洞形心以上对应的边界点设为坐标原点构建直角坐标系，在孔洞边界上以孔洞形心为中心，等角度划分孔洞边界，得到孔洞上的点的物理平面坐标值z，物理平面上的点和形心的连线与y轴的夹角为θ值，以此得到像平面上的坐标值ζ。

15、进一步的，系数矩阵方程的形式为：

16、

17、式中：ζm表示像平面上对应的第m个特征点的坐标，zm表示物理平面上第m个特征点点的坐标，m表示物理平面上孔边特征点的数目。

18、进一步的，系数矩阵迭代修正方法为：将第一次的求解结果代入原方程，得到一组新的物理平面坐标，计算新的坐标围成的图形的周长，并计算相邻两坐标间的距离与该图形周长的比值，按此比值重新划分真实孔洞边界，得到新的一组物理平面坐标。将新的到坐标代入系数矩阵方程，可以得到第二次迭代求解的系数向量结果，重复以上步骤，编写循环语句，可以得到满足收敛条件的系数向量结果。

19、进一步的，映射半径修正方法为：通过选取不同的映射半径进行试算，映射结果与孔洞原形对比，采用二分法对映射半径进行逼近，当映射结果满足收敛条件后，停止二分并输出对应的映射半径值。

20、本发明的有益技术效果为：

21、本发明通过使用matlab软件编写求解语言，可以快速的提升映射函数的求解效率，同时可以根据求解精度的需求，选取任意的映射函数系数项数目，求解结果能够满足任意的精度，得到的映射洞形与原洞形几乎一致，解决了当前的求解方法过程复杂，效率低且映射洞形精度难移保证的问题。

技术特征：

1.一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述映射函数的基本公式为：

3.根据权利要求1所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述映射中心选取为孔洞的形心，映射半径可任意取(0,1)间的值。

4.根据权利要求2所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述物理平面上的孔洞坐标和对应的像平面坐标获取方法为：将孔洞形心以上对应的边界点设为坐标原点构建直角坐标系，在孔洞边界上以孔洞形心为中心，等角度划分孔洞边界，得到孔洞上的点的物理平面坐标值z，物理平面上的点和形心的连线与y轴的夹角为θ值，以此得到像平面上的坐标值ζ。

5.根据权利要求4所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述系数矩阵方程的形式为：

6.根据权利要求1所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述系数矩阵迭代修正方法为：将第一次的求解结果代入原方程，得到一组新的物理平面坐标，计算新的坐标围成的图形的周长，并计算相邻两坐标间的距离与该图形周长的比值，按此比值重新划分真实孔洞边界，得到新的一组物理平面坐标；将新的到坐标代入系数矩阵方程，得到第二次迭代求解的系数向量结果，重复以上步骤，编写循环语句，可得到满足收敛条件的系数向量结果。

7.根据权利要求1所述的一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，其特征在于，所述映射半径修正方法为：通过选取不同的映射半径进行试算，映射结果与孔洞原形对比，采用二分法对映射半径进行逼近，当映射结果满足收敛条件后，停止二分并输出对应的映射半径值。

技术总结本发明公开了一种半无限空间内非圆形洞室的映射函数快速求解方法，具体为：选取映射函数的基本公式；选取映射中心及映射半径，获取物理平面上半无限空间内孔洞的坐标信息，并得到像平面上对应的坐标；将物理平面和像平面上的点代入映射函数基本公式，构建系数矩阵方程；采用MATLAB内置的最小二乘法求解矩阵方程，得到第一次迭代求解的系数矩阵结果；进行系数矩阵的修正，重复迭代求解修正步骤，直至满足收敛条件；进一步修正映射半径，直至满足收敛条件；输出最终满足收敛条件的映射半径和映射函数系数。本发明可以快速的提升映射函数的求解效率，能够满足任意的精度，解决了当前的求解方法过程复杂，效率低且映射洞形精度难以保证的问题。技术研发人员：张俊儒,陈鹏涛,熊颖,颜志坚,刘爱武,陈俊,马希平,郭英,范子焱,冯冀蒙受保护的技术使用者：西南交通大学技术研发日：技术公布日：2024/9/9