一种分数阶PIλDμ控制器的时频域综合设计方法及系统

本发明属于分数阶piλdμ控制器领域，更具体地，涉及一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法及系统。

背景技术：

1、pid控制器得益于其强大的适用性和可调性，在工业领域有着大规模应用。上世纪学者提出的分数阶piλdμ控制器将可调参数从三个变为五个，增加控制器设计的自由度的同时也对控制器设计方法提出了要求。现有分数阶piλdμ控制器的设计方法通常针对低阶系统或不包含延时的系统，缺乏对更高阶系统的应用，同时现有分数阶piλdμ控制器参数的设计方法中通常限制了参数之间的比例关系，降低了控制器设计的灵活度，同时也难以满足超精密运动平台对稳定性、鲁棒性和动态响应特性的需求。

技术实现思路

1、针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法及系统，其目的在于，获得最优的五个分数阶piλdμ控制器参数，从而实现具有更好的抵抗外界扰动和动态响应能力的分数阶piλdμ控制器，由此解决现有技术缺乏适用于二阶加延时系统控制对象的分数阶piλdμ控制器的问题。

2、为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了以下技术方案：

3、一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法，包括如下步骤：

4、(s1)给定闭环系统性能指标对频域指标和时域指标的约束，所述闭环系统包括分数阶piλdμ控制器和控制对象也即二阶加延时系统；

5、(s2)以时域指标中的时间乘误差绝对值积分itae最小作为优化目标，采用优化算法在五个可调参数的给定可能范围内寻找满足所述约束的最优解，也即最优的五个可调参数值；

6、所述五个可调参数为开环系统的相位裕度φm和幅频穿越频率ωgc，以及分数阶piλdμ控制器的微分项系数kd、积分项阶次λ和微分项阶次μ；所述给定可能范围是指给定的可能出现最优可调参数的参数范围；

7、所述最优的五个可调参数值中，微分项系数kd、积分项阶次λ和微分项阶次μ即为最终所需的分数阶piλdμ控制器的五个参数中的三个，所述最优的五个可调参数值在优化算法求解过程中得到的比例项系数kp、积分项系数ki，即为最终所需的剩余两个分数阶piλdμ控制器参数。

8、优选地，步骤(s1)中，给定闭环系统稳定性指标对开环系统的幅值裕度和相位裕度的约束，以及闭环系统鲁棒性指标对平相位的约束，以及闭环系统动态响应指标对时域指标中的上升时间和超调量的约束。

9、优选地，所述频域指标包括开环系统的幅值裕度am、开环系统的相位裕度φm、幅频穿越频率ωgc、相频曲线穿越频率ωpc或闭环系统的带宽ωbw；所述时域指标包括上升时间tr、调节时间ts、峰值时间tp、超调量δ或对值积分itae。

10、优选地，步骤(s2)中，所述优化算法的求解方法包括如下步骤：

11、(s21)在所述给定可能范围内取一组五个可调参数值，计算得到各项频域指标和各项时域指标，验证得到的各项频域指标和各项时域指标是否满足步骤(s1)给定的约束，若不满足所述约束，则舍弃该组五个可调参数值；若满足所述约束，则保留该组五个可调参数值，记为一个数组；

12、(s22)重复执行步骤(s21)遍历所述给定可能范围，在所有保留的五个可调参数值的数组中取时间乘误差绝对值积分itae最小的数组，作为最优的五个可调参数。

13、优选地，步骤(s21)中，所述计算得到各项频域指标和各项时域指标的方法如下：

14、(s211)记分数阶piλdμ控制器为clx(s)，被控对象是二阶加延时系统glx(s)，相位检测器为gt(s)，其中s表示拉普拉斯算子；

15、开环传递函数go(s)的表达式为go(s)＝gt(s)clx(s)glx(s)，单位负反馈的闭环传递函数gc(s)表达式为gc(s)＝go(s)/(1+go(s))；将s＝jω带入闭环传递函数gc(s)后得到闭环系统的特征方程dc(s)，令dc(s)＝0得到特征方程的实部和虚部其中j是复数单位，ω是角频率；

16、给定piλdμ控制器的积分项阶次λ、微分项阶次μ、微分项kd、幅频穿越频率ωgc和相位裕度φm，推导得到分数阶piλdμ控制器的比例项系数kp和积分项系数ki；

17、当特征方程的实部和虚部均为零时，得到开环传递函数幅频曲线的幅频穿越点处的相位φ，进而得到开环系统的相位裕度φm＝φ+π；根据开环传递函数幅频曲线的穿越频率ωgc得到频率ωgc处开环传递函数相频曲线的斜率dφ；

18、将s＝jω带入clx(s)中得到clx(jω)，进而得到clx(s)的幅值|clx(jω)|和相位arg[clx(jω)]；

19、将s＝jω带入glx(s)中得到glx(jω)，进而得到glx(s)的幅值|glx(jω)|和相位arg[glx(jω)]；

20、将clx(s)和glx(s)的幅值相加即为开环系统的开环传递函数的幅值|go(jω)|，将clx(s)和glx(s)的相位相加即为开环系统的开环传递函数的相位arg[go(jω)]；

21、根据开环传递函数相频曲线的穿越频率ωpc，得开环系统的幅值裕度am＝-|go(jωpc)|；

22、当闭环传递函数的幅值等于半功率时的频率即为闭环系统的带宽ωbw；至此得到各项频域指标；

23、(s212)采用拉普拉斯逆变换得到各项时域指标。

24、优选地，步骤(s212)具体为：

25、单位阶跃函数的时域表达式为1(t)，t≥0，复数域表达式为得到闭环系统阶跃响应的时域表达式其中是拉普拉斯逆变换；基于该时域表达式，即可得到闭环系统的各项时域指标。

26、优选地，步骤(s211)具体为：

27、则开环传递函数为

28、

29、单位负反馈的闭环传递函数为

30、

31、闭环系统的特征方程为

32、dc(s)＝kdsμ+λ+kpsλ+ki+sλ(ms2+cs+k)ets

33、将s替换为jω可得，

34、

35、当dc(jω)＝0时，得到特征方程的实部和虚部分别为，

36、

37、

38、其中，中间变量的表达式为

39、a＝kdωμ+λc3+kpωλc2+ki

40、b＝kdωμ+λs3+kpωλs2

41、c1＝cos(tω+φm)

42、

43、

44、s1＝sin(tω+φm)

45、

46、

47、d＝-ωλ+2mc2-ωλ+1cs2+ωλkc2

48、e＝-ωλ+2ms2+ωλ+1cc2+ωλks2

49、得到比例项系数kp和积分项系数ki

50、

51、

52、当特征方程的实部和虚部均为零时，得到中间变量

53、

54、

55、得到开环系统的相位裕度φm

56、

57、平相位时满足闭环系统鲁棒性指标对平相位的约束，

58、

59、其中，中间变量的表达式如下，

60、a′＝(μ+λ)kdωμ+λ-1c3+(λ)kpωλ-1c2

61、b′＝(μ+λ)kdωμ+λ-1s3+(λ)kpωλ-1s2

62、d′＝-(λ+2)ωλ+1mc2-(λ+1)ωλcs2+λωλ-1kc2

63、e′＝-(λ+2)ωλ+1ms2+(λ+1)ωλcc2+λωλ-1ks2

64、将开环传递函数中的s替换为jω，得分数阶piλdμ控制器的幅值|clx(jω)|和相位arg[clx(jω)]，

65、

66、

67、其中，中间变量的表达式如下，

68、

69、

70、二阶加延时系统的幅值|glx(jω)|和相位arg[glx(jω)]为

71、

72、

73、将分数阶piλdμ控制器的幅值与二阶加延时系统的幅值相加得到开环传递函数的幅值，将分数阶piλdμ控制器的相位与二阶加延时系统的相位相加得到开环传递函数的相位；

74、在开环传递函数相频曲线的穿越频率ωpc处，开环传递函数的幅值|go(jωpc)|和相位arg[go(jωpc)]为

75、

76、arg[go(jωpc)]＝-π

77、得到开环系统的幅值裕度am

78、am＝-|go(jωpc)|

79、通过开环传递函数推导出闭环传递函数，当闭环传递函数的幅值等于半功率时的频率即为闭环系统的带宽ωbw。

80、优选地，所述优化算法包括遗传算法或粒子群优化算法。

81、按照本发明的另一方面，还提供了以下技术方案：

82、一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计系统，包括：

83、约束模块，用于给定闭环系统性能指标对频域指标和时域指标的约束，所述闭环系统包括分数阶piλdμ控制器和控制对象也即二阶加延时系统；

84、优化参数获取模块，用于以时域指标中的时间乘误差绝对值积分itae最小作为优化目标，采用优化算法在五个可调参数的给定可能范围内寻找满足所述约束的最优解，也即最优的五个可调参数值；

85、所述五个可调参数为开环系统的相位裕度φm和幅频穿越频率ωgc，以及分数阶piλdμ控制器的微分项系数kd、积分项阶次λ和微分项阶次μ；所述给定可能范围是指给定的可能出现最优可调参数的参数范围；

86、所述最优的五个可调参数值中，微分项系数kd、积分项阶次λ和微分项阶次μ即为最终所需的分数阶piλdμ控制器的五个参数中的三个，所述最优的五个可调参数值在优化算法求解过程中得到的比例项系数kp、积分项系数ki，即为最终所需的剩余两个分数阶piλdμ控制器参数。

87、优选地，所述约束模块中，给定闭环系统稳定性指标对开环系统的幅值裕度和相位裕度的约束，以及闭环系统鲁棒性指标对平相位的约束，以及闭环系统动态响应指标对时域指标中的上升时间和超调量的约束。

88、总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

89、1、本发明提供的一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法，通过给定包含二阶加延时系统和分数阶piλdμ控制器的闭环系统的性能指标对频域指标和时域指标的约束，以时域指标中的时间乘误差绝对值积分itae最小作为优化目标，采用优化算法在五个可调参数的给定可能范围内寻找满足所述约束的最优解，得到最优的五个可调参数值，进而得到所需的五个最优分数阶piλdμ控制器参数；本发明的控制对象为二阶加延时系统，提高了分数阶piλdμ控制器的应用范围，且设计方法同样适用于低阶系统；本发明方法中分数阶piλdμ控制器包含五个可调参数，且各可调参数之间没有设置比例关系约束，极大提高了分数阶piλdμ控制器设计的自由度；

90、2、本发明提供的一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法，通过给定闭环系统稳定性指标对开环系统的幅值裕度和相位裕度的约束，以及闭环系统鲁棒性指标对平相位的约束，以及闭环系统动态响应指标对时域指标中的上升时间和超调量的约束，能够在满足系统稳定性和鲁棒性的同时，提高系统动态响应特性，有利于提高超精密运动平台的运动精度和抵抗外界扰动的能力。

91、3、本发明提供的一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计方法，给出了具体的优化算法求解五个可调参数的方法，该方法计算速度快、效率高，提高了本发明设计方法的设计效率和应用范围。

92、4、本发明提供的一种分数阶piλdμ控制器的时频域综合设计系统，同样具备上述1-3条有益效果。