一种任意阶Reed-Muller码的拟线性时间复杂度编码和唯一译码算法及应用

本发明属于通信，它特别涉及一种任意阶reed-muller(以下称作rm)码的拟线性时间复杂度编码和唯一译码算法及应用。

背景技术：

1、纠错码是用于在有噪声的通信信道上可靠传输信息的编码方案。信息在各种有损信道中传输的场景，常常需要考虑对抗性噪声的编码。假设是有限域上的线性纠错码，它将消息空间线性编码为中的码字。的码率是码的维度与码长之比，即k/n。的最小距离是中任意两个不同码字之间的最小汉明距离，它反映了的纠错能力。其中，码率以及编码译码时间复杂度等是衡量其性能的重要指标。

2、当假定通信信道中出现的错误数e小于编码最小距离的一半时，可以唯一地恢复出原始码字，此为唯一译码。

3、rm码由muller于1954年引入，后来reed提出了一种唯一译码算法，纠错半径可达到最小距离的一半。rm码的编码实际上就是多变量多点赋值(以下称作mpe)。针对mpe的输入大小设计近似线性的时间算法是一项艰巨的挑战。目前的研究中几乎所有已知的rm码的拟线性唯一译码算法复杂度仍有优化空间。

4、通过上述分析，现有技术存在的问题及缺陷是：rm码的编码与译码一直是编码理论和理论计算机科学的一个重要研究课题，在此之前尽管研究人员付出了巨大的努力，但任意阶rm码的拟线性时间算法仍有较大的优化空间，该方向的研究结果依然匮乏。

技术实现思路

1、针对背景技术中rm码编码译码准线性时间算法的实现问题，本发明提出一种能够实现以拟线性时间复杂度对任意r阶rm码进行编码和译码的方案，如下：

2、一种任意阶reed-muller码的拟线性时间复杂度编码和唯一译码算法，包括：

3、定义q元rmq(r,m)rm码，定义信息并转化成一元信息多项式；

4、将上的m变量mpe问题简化为扩展域上的单变量mpe问题，利用rs码的编码器进行编码，从而实现对上m元多项式的mpe加速使得编码复杂度达到拟线性水平；

5、将接收码字输入至rs码的唯一译码器，计算得到正确的消息多项式，通过映射关系求得m元信息多项式，系数即为唯一译码结果。

6、进一步地，利用rs码的编码器进行编码，从而实现对上m元多项式的mpe加速使得编码复杂度达到拟线性水平，具体步骤如下：

7、取定义4中的q元rmq(r,m)rm码的码长n＝qm，维度为mi基于定义7所定义，定义信息为

8、将信息映射成为信息多项式其中基于定义7所定义；

9、使用rs码的编码器计算返回c即是最终的编码码字。

10、进一步地，所述的定义4：根据定义3的mpe定义q元rm码：

11、

12、其码长为n＝qm，维度为最小码距为d＝qm-1(q-r)，为定义2所定义的集合。

13、进一步地，所述的定义3：定义多变量多点赋值(以下称作mpe)如下：给定n赋值点集取定义1中的多项式f以及定义2中的集合并计算(f(a1),…,f(an))：

14、

15、进一步地，所述的定义1：定义一个在有限域上的m个变量的多项式、总度数最多为r的多项式定义f的总度数为：

16、进一步地，所述的定义2：定义集合是所有总次小于等于r的多项式的子空间，维度是

17、进一步地，所述的定义7：令mi是上述定义6中的周期，mi整除m，且有子域设是的一个正规基，对于定义6中每一个1≤i≤s且1≤j≤mi，定义多项式：

18、

19、进一步地，所述的定义6：取定义4中的m，包含的q模qm-1的分圆陪集定义为：

20、uλ＝{qiλmod(qm-1)|1≤i≤m}

21、如果各不相同，且则的一个子集{λ1,λ2,…,λs}称为q模qm-1的分圆陪集代表的完备集。

22、进一步地，将上的rm码唯一译码转化为上的rs码唯一译码，从而使得任意r阶rm码译码复杂度达到拟线性水平，具体步骤如下：

23、将接收码字输入至rs码的译码器，计算得到正确的消息多项式

24、计算在的m元多项式f＝τ(f(x))；

25、最终输出f的系数即为唯一译码结果。

26、本发明还提供一种任意阶reed-muller码的拟线性时间复杂度编码和唯一译码算法的应用，其特征在于，应用应于包括军事通信、复杂信道传输的技术领域。

27、结合上述的技术方案和解决的技术问题，本发明所要保护的技术方案所具备的优点及积极效果为：

28、第一，本发明基于上的多元多项式环与扩展有限域上的单变量多项式环之间的变换思想的思想，增强了rm码的性能。这种方法的关键优点包括：

29、1.加速了rm码编码译码：本发明基于上的多元多项式环与扩展有限域上的单变量多项式环之间的变换思想，将上的m变量mpe问题简化为扩展域上的单变量mpe问题、将上的rm码唯一译码转化为上的rs码唯一译码，从而使得rm码编码译码复杂度达到拟线性水平，加快了编码译码时间。

30、2.实现了任意r阶rm码唯一译码的拟线性时间算法：本发明基于上的多元多项式环与扩展有限域上的单变量多项式环之间的变换思想，将上的rm码唯一译码转化为上的rs码唯一译码，从而实现了任意r阶rm码唯一译码的拟线性时间算法。

31、3.适用性广泛：该方法适用于对编码译码时间复杂度要求较高的工业通信领域，包括但不限于安全通信、敏感信息传输和隐写术等领域。

32、本发明不仅体现了技术上的显著进步，而且还提供了一种对现有rm码编码译码的有效改进和补充。通过实现这一方法，可以加速rm码编码译码时间，满足日益增长的对安全通信和应对复杂信道需求。

33、第二，本发明基于上的多元多项式环与扩展有限域上的单变量多项式环之间的变换思想的思想，加速了rm码编码译码，实现了显著的技术进步。

34、加速rm码编码译码：该方法将编码译码时间复杂度达到拟线性水平，从而加快了编码译码时间。

35、实现了任意阶rm码唯一译码的拟线性时间算法：该算法实现了任意阶rm码唯一译码的拟线性时间算法。

36、适应性强：本发明适用于各种参数的rm码以及各种应用场景。

37、技术创新：本发明的编码译码方法是对现有rm码编码译码技术的有效补充和改进，展示了在通信领域的技术创新。

38、第三，本发明的技术方案转化后的预期收益和商业价值为：

39、将信息通过该方案进行rm码编码，用于工业界中对编码译码速度要求较高的场景中。该技术可以用于安全通信、敏感信息传输和隐写术等领域。

40、本发明的技术方案填补了国内外业内技术空白：任意阶rm码的拟线性时间算法仍有较大的优化空间。为填补该空缺，本发明基于上的多元多项式环与扩展有限域上的单变量多项式环之间的变换思想，将上的m变量mpe问题简化为扩展域上的单变量mpe问题、将上的rm码唯一转化为上的rs码唯一译码，从而使得任意r阶rm码编码译码复杂度达到拟线性水平。

41、本发明的技术方案解决了人们一直渴望解决、但始终未能获得成功的技术难题：该方法实现了任意阶rm码译码的拟线性时间算法，优化了现有的理论成果。